Question

1．如圖所示，A，B，C是一條公路上的三點(diǎn)，BC=2AB=2km，從這三點(diǎn)分別觀測(cè)一塔P，從A測(cè)得塔在北偏東60°，從B測(cè)得塔在正東，從C測(cè)得塔在南偏東60°，求該塔到這條公路的距離．

Answer 1

分析 過(guò)C，B，P分別作CMl，BNl，PQl，垂足分別為M，N，Q，設(shè)BN=x，可求PA，PC，由余弦定理可得AC²=PA²+PC²-2PA•PC•cos60°，解得x，過(guò)P作PD⊥AC，垂足為D，可求sin∠BAN=x，cos∠BAN=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，sin∠CAP=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，由PD=APsin∠CAP即可求值得解．

解答 解：如圖所示，過(guò)C，B，P分別作CMl，BNl，PQl，垂足分別為M，N，Q，設(shè)BN=x，即PQ=x，PA=2x，
∵BC=2AB=2，
CM=3BN=3x，PC=2（MC-BN）=4x，
在△PAC中，由余弦定理可得：AC²=PA²+PC²-2PA•PC•cos60°，
即：9=4x²+16x²-2×2x×4x×$\frac{1}{2}$，
解得：x²=$\frac{3}{4}$，
過(guò)P作PD⊥AC，垂足為D，則線段PD的長(zhǎng)為塔到直路的距離，
∵sin∠BAN=x，cos∠BAN=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
∴sin∠CAP=sin（150°-∠BAN）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴PD=APsin∠CAP=2x×（$\frac{1}{2}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）=x$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{3}$x²=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和計(jì)算能力，屬于基本知識(shí)的考查．