Question

9．求函數(shù)y=-2cos²x-2sinx+3的值域．

Answer 1

分析 首先，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，化簡函數(shù)解析式，然后，利用換元法，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題進行求解．

解答 解：函數(shù)y=-2cos²x-2sinx+3
=-2（1-sin²x）-2sinx+3
=2sin²x-2sinx+1
令sinx=t，t∈[-1，1]，
∴y=2t²-2t+1=2（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，取得最小值為$\frac{1}{2}$；
當(dāng)t=-1時，取得最大值為5，
∴值域為[$\frac{1}{2}$，5]．

點評 本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值問題、換元法在求解值域中的應(yīng)用，屬于中檔題．