Question

10．已知橢圓C：2x²+3y²=6的左焦點為F，過F的直線l與C交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）當直線l與x軸垂直時，求線段AB的長；
（Ⅲ）設線段AB的中點為P，O為坐標原點，直線OP交橢圓C交于M、N兩點，是否存在直線l使得|NP|=3|PM|？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將橢圓方程化為標準方程，求得a，b，c，進而得到離心率；
（Ⅱ）當直線l與x軸垂直時，即為x=-1，代入橢圓方程，求得縱坐標，進而得到弦長；
（Ⅲ）設直線AB：x=my-1，代入橢圓方程，可得（3+2m²）y²-4my-4=0，運用韋達定理，以及中點坐標公式可得P的坐標，再由向量共線的坐標表示，解方程可得m，進而判斷存在這樣是直線l．

解答 解：（Ⅰ）橢圓C：2x²+3y²=6，即為
$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，可得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，c=1，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅱ）當直線l與x軸垂直時，即為x=-1，
代入橢圓方程可得y²=$\frac{4}{3}$，解得y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
則線段AB的長為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅲ）由F（-1，0），設直線AB：x=my-1，代入橢圓方程，
可得（3+2m²）y²-4my-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=$\frac{4m}{3+2{m}^{2}}$，
即有中點P的坐標為（$\frac{-3}{3+2{m}^{2}}$，$\frac{2m}{3+2{m}^{2}}$），
直線OP：y=-$\frac{2m}{3}$x，代入橢圓方程，可得
x=±$\frac{3}{\sqrt{3+2{m}^{2}}}$，
可設x_N=$\frac{3}{\sqrt{3+2{m}^{2}}}$，x_M=-$\frac{3}{\sqrt{3+2{m}^{2}}}$，
假設存在直線l使得|NP|=3|PM|，
即有$\overrightarrow{NP}$=3$\overrightarrow{PM}$，
即為$\frac{-3}{3+2{m}^{2}}$-$\frac{3}{\sqrt{3+2{m}^{2}}}$=3（-$\frac{3}{\sqrt{3+2{m}^{2}}}$-$\frac{-3}{3+2{m}^{2}}$），
解得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則存在直線l：x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$y-1，使得|NP|=3|PM|．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)的運用，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，同時考查向量共線的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．