Question

2．以下幾個(gè)命題中：其中真命題的序號為③④（寫出所有真命題的序號）
①設(shè)A，B為兩點(diǎn)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|$\overrightarrow{PA}$|-|$\overrightarrow{PB}$|=k，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
②過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$則動點(diǎn)P的軌跡為橢圓；
③雙曲線$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$與橢圓$\frac{{x}^{2}}{35}+{y}^{2}$=1有相同的焦點(diǎn)；
④若方程2x²-5x+a=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，則0＜a＜3；
⑤在平面內(nèi)，到定點(diǎn)（2，1）的距離與到定直線3x+4y-10=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線．

Answer 1

分析 ①根據(jù)雙曲線的定義知①不正確；
②設(shè)出定圓的方程，利用代入法分析可知AB中點(diǎn)P的軌跡為圓（除去A點(diǎn)）；
③求出雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)，即可判定；
④雙曲線的離心率大于1，橢圓的離心率小于1大于0，即可判定．；⑤說明點(diǎn)（2，1）在直線3x+4y-10=0上，不滿足拋物線的定義．

解答 解：①平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離的差的絕對值等于常數(shù)k（k＜|F₁F₂|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，當(dāng)0＜k＜|AB|時(shí)是雙曲線的一支，當(dāng)k=|AB|時(shí)，表示射線，∴①不正確；
②，設(shè)定圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，點(diǎn)A（m，n），P（x，y），由$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$可知P為AB的中點(diǎn)，則B（2x-m，2y-n），因?yàn)锳B為圓的動弦，所以B在已知圓上，把B的坐標(biāo)代入圓x²+y²+Dx+Ey+F=0得到P的軌跡仍為圓，當(dāng)B與A重合時(shí)AB不是弦，所以點(diǎn)A除外，所以②不正確；
③雙曲線$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$與橢圓$\frac{{x}^{2}}{35}+{y}^{2}=1$的焦點(diǎn)都是（±$\sqrt{34}$，0），有相同的焦點(diǎn)，正確；
④正確方程2x²-5x+a=0的可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{2-5+a＜0}\end{array}\right.$，∴0＜a＜3，正確；
⑤在平面內(nèi)，點(diǎn)（2，1）在直線3x+4y-10=0上，
∴到定點(diǎn)（2，1）的距離與到定直線3x+4y-10=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡不是拋物線，∴⑤不正確
故答案為：③④．

點(diǎn)評 本題通過命題真假的判定，考查橢圓、雙曲線拋物線的定義、性質(zhì)和曲線的方程與方程的曲線等問題，是綜合題目．