Question

設(shè)一汽車在前進途中要經(jīng)過4個路口，汽車在每個路口遇到綠燈的概率為

3

4

，遇到紅燈（禁止通行）的概率為

1

4

．假定汽車只在遇到紅燈或到達目的地才停止前進，ξ表示停車時已經(jīng)通過的路口數(shù)，求：
（Ⅰ）ξ的概率的分布列及期望Eξ；
（Ⅱ）停車時最多已通過3個路口的概率．

Answer 1

分析：（I）由題意知ξ表示停車時已經(jīng)通過的路口數(shù)，因為共有4個路口，ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，根據(jù)條件所給的在每個路口遇到綠燈的概率為

3

4

，遇到紅燈（禁止通行）的概率為

1

4

，做出變量對應(yīng)不同數(shù)值時的概率，得到分布列和期望．
（II）停車時最多已通過3個路口的對立事件是停車時已經(jīng)通過4個路口，根據(jù)上一問做出的通過4個路口的概率和對立事件的概率，得到結(jié)果．

解答：解：（I）由題意知ξ的所有可能值為0，1，2，3，4
用A_K表示“汽車通過第k個路口時不停（遇綠燈）”，
則P（A_K）=

3

4

(k=1，2，3，4)，且A1，A2，A3，A4獨立．
故P(ξ=0)=P(

A1

)=

1

4

，
P(ξ=1)=P(A1•

A2

)=

3

4

×

1

4

=

3

16

P(ξ=2)=P(A1•A2•

A3

)=(

3

4

)2

1

4

=

9

64

，
P(ξ=3)=P(A1•A2•A3•

A4

)=(

3

4

)3

1

4

=

27

256

，
P(ξ=4)=P(A1•A2•A3•A4)=(

3

4

)4=

81

256

從而ζ有分布列：

Eξ=0×

1

4

+1×

3

16

+2×

9

64

+3×

27

256

+4×

81

256

=

525

256

（II）P(ξ≤3)=1-P(ξ=4)=1-

81

256

=

175

256

即停車時最多已通過3個路口的概率為

175

256

．

點評：本題考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，對立事件的概率，離散型隨機變量的分布列和期望，是一個近幾年經(jīng)常出現(xiàn)的概率問題，解題時注意分清事件的關(guān)系．