Question

【題目】已知函數(shù),.

（Ⅰ）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值及在內(nèi)的最小值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，且.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由已知條件的導(dǎo)函數(shù)，以及，從而求出實(shí)數(shù)的值，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性，從而得到在內(nèi)的最小值

（Ⅱ）由題可得,令，要證函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，即證只有唯一根，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間與值域即可，且由零點(diǎn)定理可知，由，可得，代入中，利用導(dǎo)數(shù)求出在內(nèi)的最值即可證明。

（Ⅰ）由題可得：，則，

是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，

，即，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)；

；

當(dāng)時(shí)，，令，解得：或，

當(dāng)時(shí)，、的變化如下表：

所以當(dāng)時(shí)，有最小值，

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，

令，，則，

由于恒成立，所以恒大于零，則在上單調(diào)遞增，

由于，，根據(jù)零點(diǎn)定理，可得存在唯一的，使得，

令，解得：，，當(dāng)或時(shí)，，即的單調(diào)增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，即的單調(diào)減區(qū)間為，

函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，且，，則；

，

則，令，解得：或，

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，則，，所以