Question

【題目】已知拋物線和軸上的定點，過拋物線焦點作一條直線交于、兩點，連接并延長，交于、兩點.

（1）求證：直線過定點；

（2）求直線與直線最大夾角為，求.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）當直線、斜率不存在時，可直接求解；當直線、斜率存在時，設(shè)直線，，，，，不妨設(shè)，聯(lián)立方程組得，，，，結(jié)合可得直線，即可得證；

（2）當直線斜率存在時，易證，利用求出最大值即可得解.

（1）證明：由題意知拋物線焦點，

當直線斜率不存在時，直線，易得，，

則直線，，

所以點，，此時直線；

當線斜率存在時，設(shè)直線，，，，，不妨設(shè)，

則，化簡得，，

則，，

①當時，則，所以，，點，

所以直線，點，

直線，則解得點，

所以直線；

②當時，此時直線，

則，結(jié)合化簡得，

此方程有一根為，所以，所以，所以，

同理可得，

由，，可得，，

所以，

所以直線，化簡得，

可得直線過點；

綜上，直線恒過點；

（2）由（1）知，當直線斜率不存在時，；

當直線斜率存在時，，

設(shè)直線與直線的夾角為，

，當且僅當時，等號成立，

所以對于直線與直線最大夾角，.