Question

【題目】如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.點(diǎn)是上的定點(diǎn)，，是上的兩動(dòng)點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線上.

（Ⅰ）求曲線的方程及的值；

（Ⅱ）記，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）由拋物線準(zhǔn)線方程及P到準(zhǔn)線的距離，可求得，進(jìn)而求得拋物線方程，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線 ，即可求得t.

（Ⅱ）求直線OM方程，點(diǎn)Q在直線OM上，根據(jù)直線方程表示點(diǎn)Q坐標(biāo)，消去參數(shù)n，

利用點(diǎn)差法表示出直線AB斜率，進(jìn)而求出直線方程，將直線AB方程與拋物線方程聯(lián)立，用弦長公式求弦長，從而將d表示為關(guān)于m的函數(shù)，根據(jù)m范圍求最值.

詳解：（1）的準(zhǔn)線為，∴，∴，

∴拋物線的方程為.又點(diǎn)在曲線上，∴.

（2）由（1）知，點(diǎn)，從而，即點(diǎn)，

依題意，直線的斜率存在，且不為，

設(shè)直線的斜率為.且，，

由得，故，

所以直線的方程為，即.

由消去，整理得，

所以，，.

從而.

∴，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立，

又滿足.∴的最大值為.