Question

在平面直角坐標系xOy中，已知定點A(－4，0)、B(4，0)，動點P與A、B連線的斜率之積為－.

(1)求點P的軌跡方程；

(2)設點P的軌跡與y軸負半軸交于點C.半徑為r的圓M的圓心M在線段AC的垂直平分線上，且在y軸右側，圓M被y軸截得的弦長為r.

(ⅰ)求圓M的方程；

(ⅱ)當r變化時，是否存在定直線l與動圓M均相切？如果存在，求出定直線l的方程；如果不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）＝1(x≠±4)（2）(ⅰ)＋(y－r－3)2＝r2.(ⅱ)y＝3和4x＋3y－9＝0與動圓M均相切

【解析】(1)設P(x，y)，則直線PA、PB的斜率分別為k1＝、k2＝.

由題意知·＝－，即＝1(x≠±4)．

所以動點P的軌跡方程是＝1(x≠±4)．

(2)(ⅰ)由題意C(0，－2)，A(－4，0)，

所以線段AC的垂直平分線方程為y＝2x＋3.

設M(a，2a＋3)(a＞0)，則圓M的方程為(x－a)2＋(y－2a－3)2＝r2.

圓心M到y(tǒng)軸的距離d＝a，由r2＝d2＋，得a＝.

所以圓M的方程為＋(y－r－3)2＝r2.

(ⅱ)假設存在定直線l與動圓M均相切．當定直線的斜率不存在時，不合題意．

設直線l：y＝kx＋b，則＝r對任意r＞0恒成立．

由，得r2＋(k－2)(b－3)r＋(b－3)2＝(1＋k2)r2.

所以解得或

所以存在兩條直線y＝3和4x＋3y－9＝0與動圓M均相切