Question

如圖，橢圓C0：＝1(a>b>0，a、b為常數)，動圓C1：x2＋y2＝，b<t1<a.點A1、A2分別為C0的左、右頂點，C1與C0相交于A、B、C、D四點．

(1)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程；

(2)設動圓C2：x2＋y2＝與C0相交于A′，B′，C′，D′四點，其中b<t2<a，t1≠t2.若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：為定值．

 

Answer 1

（1）＝1(x<－a，y<0)．（2）見解析

【解析】(1)【解析】
設A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a，0)，A2(a，0)，

則直線A1A的方程為y＝(x＋a)，①直線A2B的方程為y＝(x－a)．②

由①②得y2＝(x2－a2)．③由點A(x1，y1)在橢圓C0上，故＝1.

從而＝b2，代入③得＝1(x<－a，y<0)．

(2)證明：設A′(x2，y2)，由矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，故.因為點A，A′均在橢圓上，所以b2＝b2.由t1≠t2，知x1≠x2，所以＝a2，從而＝b2，因此＝a2＋b2為定值