設函數(shù)
，其中
為正整數(shù).
（1）判斷函數(shù)
的單調(diào)性，并就
的情形證明你的結(jié)論；
（2）證明：
；
（3）對于任意給定的正整數(shù)，求函數(shù)
的最大值和最小值.
（1）
在
上均為單調(diào)遞增的函數(shù). …… 2分
對于函數(shù)
，設 
，則
，
，
函數(shù)
在
上單調(diào)遞增. …… 4分
（2）
原式左邊
. …… 6分
又原式右邊
.
. …… 8分
（3）當
時，函數(shù)
在上單調(diào)遞增，
的最大值為
，最小值為
.
當
時，
， 函數(shù)
的最大、最小值均為1.
當
時，函數(shù)
在上為單調(diào)遞增.
的最大值為
，最小值為
.
當
時，函數(shù)
在上單調(diào)遞減，
的最大值為
，最小值為
. …… 11分
下面討論正整數(shù)
的情形：
當
為奇數(shù)時，對任意
且
，
以及 
，
，從而 
.
在上為單調(diào)遞增，則
的最大值為
，最小值為
. …… 14分
當為偶數(shù)時，一方面有 
.
另一方面，由于對任意正整數(shù)
，有
，
.
函數(shù)
的最大值為
，最小值為
.
綜上所述，當為奇數(shù)時，函數(shù)的最大值為
，最小值為
.
當為偶數(shù)時，函數(shù)的最大值為
，最小值為
. …… 18分
同答案
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
（本小題滿分13分）設函數(shù)
，其中
為正整數(shù).
（Ⅰ）判斷函數(shù)
的單調(diào)性，并就
的情形證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）證明：
；
（Ⅲ）對于任意給定的正整數(shù)，求函數(shù)
的最大值和最小值.
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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年山東省淄博市高三3月模擬考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
若數(shù)列
滿足
，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列
中，
，點
在函數(shù)
的圖象上，其中
為正整數(shù)．
（1）證明數(shù)列
是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列
為等比數(shù)列；
（2）設（1）中“平方遞推數(shù)列”的前項積為
，
即
，求
；
（3）在（2）的條件下，記
，求數(shù)列
的前項和
，并求使
的的最小值．
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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年山東省高三第四次（4月）周測理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
設函數(shù)
，其中
為常數(shù)．
（Ⅰ）當
時，判斷函數(shù)
在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）當
時,求的極值點并判斷是極大值還是極小值；
（Ⅲ）求證對任意不小于3的正整數(shù)
，不等式
都成立．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
，其中
為正整數(shù).（1）判斷函數(shù)
的單調(diào)性，并就
的情形證明你的結(jié)論；
（2）證明：
；
（3）對于任意給定的正整數(shù)
，求函數(shù)
的最大值和最小值.
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