Question

設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù).

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并就的情形證明你的結(jié)論；

（2）證明：；

（3）對(duì)于任意給定的正整數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值.

Answer 1

解答：本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、證明以及三角函數(shù)的最值等綜合問(wèn)題.

    （1）在上均為單調(diào)遞增的函數(shù).

    對(duì)于函數(shù)，設(shè) ，則

    ，

   ∵，

   ∴∴函數(shù)在上單調(diào)遞增

（2）∵原式左邊

                     

    

     

    又∵原式右邊.

    ∴.

（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

    ∴的最大值為，最小值為.

    當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的最大、最小值均為1.

    當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞增.

    ∴的最大值為，最小值為.

    當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

    ∴的最大值為，最小值為.

    下面討論正整數(shù)的情形：

    當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)任意且

    ∵，

    以及 ，

    ∴，從而 .

    ∴在上為單調(diào)遞增，則

    的最大值為，最小值為

    當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，一方面有 .

    另一方面，由于對(duì)任意正整數(shù)，有

    ，

    ∴.

    ∴函數(shù)的最大值為，最小值為. 

    綜上所述，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為