Question

若F₁、F₂分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．
（1）求出這個(gè)橢圓的方程；
（2）是否存在過定點(diǎn)N（0，2）的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)A、B，使∠AOB=90°（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出直線l的斜率k，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵F₁、F₂分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
且|PF₁|+|PF₂|=4，|F₁F₂|=2，
∴，即a=2，c=，
∴，
∴橢圓方程為．
（2）當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，即x=0不滿足題設(shè)條件
設(shè)l為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，∴，
∴，
∵∠AOB=90°，
∴，

∴k²=4，k=±2．