Question

4．命題p：函數(shù)f（x）=x²+ax+1能取到一切正值，命題q：函數(shù)g（x）=（3-2a）^2x-1是其定義域上的增函數(shù)，若“p且q”為假，“p或q”為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出對(duì)一切x∈R，f（x）＞0恒成立的實(shí)數(shù)a的取值集合，可以得到命題p為真命題的實(shí)數(shù)a的取值集合，進(jìn)一步得到使命題p為假命題的實(shí)數(shù)a的取值集合；求出使函數(shù)f（x）=（3-2a）^x是增函數(shù)的實(shí)數(shù)a的取值集合，可以得到命題q為真命題的取值集合，進(jìn)一步得到命題q為假命題的取值集合，然后然后根據(jù)復(fù)合命題的真假，借助于交集運(yùn)算進(jìn)行求解．

解答 解：因?yàn)閒（x）=x²+ax+1能取到一切正值，
即要使對(duì)一切x∈R，f（x）＞0恒成立，
即x²+ax+1＞0對(duì)一切x∈R恒成立，
則△=a²-4＜0恒成立，解得：-2＜a＜2．
所以，命題p為真命題的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，2）．
則命題p為假命題的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）．
要使函數(shù)f（x）=（3-2a）^x是增函數(shù)，
則3-2a＞1，即a＜1．
所以，命題q為真命題的a的取值范圍是（-∞，1）．
則命題q為假命題的a的取值范圍是[1，+∞）．
若p或q為真，p且q為假，
則p真q假或p假q真．
由p真q假，如圖，

得a的取值范圍是[1，2）．
由p假q真，如圖，

得a的取值范圍是（-∞，-2]．
所以，使p或q為真，p且q為假的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]∪[1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的真假判斷，考查了不等式恒成立問(wèn)題，訓(xùn)練了補(bǔ)集思想的應(yīng)用，此題屬中檔題．