Question

（本小題滿分12分，（1）小問4分，（2）小問8分）已知為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，分別為其左右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)，且不垂直于軸，的周長為，且橢圓的短軸長為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)為橢圓的左端點(diǎn)，連接并延長交直線于點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)．

 

Answer 1

（1）；（2）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）結(jié)合圖形及橢圓的定義先得到的周長為，進(jìn)而根據(jù)條件列出方程組，從中求解即可得出的值，進(jìn)而可寫出橢圓的方程；（2）由（1）確定，進(jìn)而設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程，解出點(diǎn)，設(shè)直線，可得，進(jìn)而根據(jù)三點(diǎn)共線得出，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入并化簡得到，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，，然后寫出直線的方程并化簡得到，從該直線方程不難得到該直線恒通過定點(diǎn)，問題得證.

（1）依題意有：的周長為

所以，則橢圓的方程為 4分

（2）由橢圓方程可知，點(diǎn)

設(shè)直線，由得，從而，，即點(diǎn)

同理設(shè)直線，可得 7分

由三點(diǎn)共線可得，即，代入兩點(diǎn)坐標(biāo)化簡可得

9分

直線，可得點(diǎn)，即

從而直線的方程為

化簡得，即，

從而直線過定點(diǎn) 12分.

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.