Question

18．在正方形ABCD中，M是BD的中點，且$\overrightarrow{AM}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AD}$（m，n∈R），函數(shù)f（x）=e^x-ax+1的圖象為曲線C，若曲線C存在直線y=（m+n）x垂直的切線（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）．

Answer 1

分析 運用中點的向量表示，可得m+n=1，求出函數(shù)的導數(shù)，運用兩直線垂直的條件可得e^x-a=-1有解，再由指數(shù)函數(shù)的單調性，即可得到a的范圍．

解答 解：在正方形ABCD中，M是BD的中點，且$\overrightarrow{AM}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AD}$，
即有$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$），即m=n=$\frac{1}{2}$，
函數(shù)f（x）=e^x-ax+1的導數(shù)為f′（x）=e^x-a，
若曲線C存在與直線y=x垂直的切線，
即有e^x-a=-1有解，
即a=e^x+1，
由e^x＞0，則a＞1．
則實數(shù)a的范圍為（1，+∞）．
故答案為：（1，+∞）．

點評 本題考查向量共線定理，考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導數(shù)即為曲線在該點處切線的斜率，同時考查兩直線垂直的條件，屬于中檔題．