Question

【題目】已知函數(shù).

（1）試求函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若，恒成立，求的最大值.

參考數(shù)據(jù)：

	1.6	1.7	1.74	1.8	10
	4.953	5.474	5.697	6.050	22026
	0.470	0.531	0.554	0.558	2.303

Answer 1

【答案】（1）有唯一極小值點(diǎn)，沒(méi)有極大值點(diǎn).（2）10

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，先判斷在單調(diào)遞增，結(jié)合的符號(hào)即可得結(jié)果；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，有唯一極小值點(diǎn)，故原題等價(jià)于，即，令，則在單調(diào)遞減，結(jié)合表中數(shù)據(jù)存在唯一正數(shù)，使得，從而，當(dāng)時(shí)，易知不等式成立，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，可得，接著證明時(shí)，滿足題意即可.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，

，時(shí)，，

∴存在唯一正數(shù)，使得，

函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

∴函數(shù)有唯一極小值點(diǎn)，沒(méi)有極大值點(diǎn)，

∴當(dāng)時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)，沒(méi)有極大值點(diǎn).

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)，

∴，恒成立

，∴，

∴.

令，則在單調(diào)遞減，

由于，，

∴存在唯一正數(shù)，使得，從而，

由于恒成立，

①當(dāng)時(shí)，成立；

②當(dāng)時(shí)，由于，∴.

令，當(dāng)時(shí)，，

∴在單調(diào)遞減，從而.

，且，且，

∴.

下面證明時(shí)，.

，且在單調(diào)遞增，由于，，

∴存在唯一，使得，

∴.

令，，易知在單調(diào)遞增，

∴，

∴，即時(shí)，.

∴的最大值是10.