Question

一個四面體ABCD的所有棱的長度都為

2

，四個頂點A、B、C、D在同一球面上，則A、B兩點的球面距離為

3

2

(π-arccos

1

3

)

．

Answer 1

分析：由題意求出外接球的半徑，設(shè)球心為O，然后求出∠AOB的大小，即可求解其外接球球面上A、B兩點間的球面距離．

解答：解：如圖，將四面體補成正方體，則正方體的棱長是1，正方體的對角線長為：

3

，
正四面體的外接球的半徑為：

3

2

．
設(shè)球心為O．
∴cos∠AOB=

( 3 2 )2+( 3 2 )2-( 2 )2

2× 3 2 × 3 2

=-

1

3

，
∴∠AOB=π-arccos

1

3

，
外接球球面上A、B兩點間的球面距離為：

3

2

(π-arccos

1

3

)．
故答案為：

3

2

(π-arccos

1

3

)

點評：本題考查正四面體的外接球的球面距離的求法，考查空間想象能力，計算能力．