Question

5．已知圓C：x²+y²-2x-4y+m=0
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=1時，若圓C與直線x+ay-2=0交于M，N兩點，且CM⊥CN，求a的值．

Answer 1

分析 （1）把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)半徑大于零，求得m的范圍．
（2）由題意可得，弦心距等于半徑的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍，再利用點到直線的距離公式，求得a的值．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-2x-4y+m=0，即圓C：（x-1）²+（y-2）² =5-m，∴m＜5．
（2）當(dāng)m=1時，∴圓C：（x-1）²+（y-2）² =4，
圓心C：（1，2），半徑r=2，
∵CM⊥CN，∴弦心距d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，即 $\frac{|1+2a-2|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，化簡：2a²-4a-1=0，
求得a=$\frac{2±\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．