Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若方程只有一解，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，若對任意正實數(shù)， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)性可得時， ， 時， ,且，結(jié)合函數(shù)圖象可得結(jié)果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，對任意正實數(shù)， 恒成立，等價于，先排除，當時，利用導數(shù)可得，所以.

試題解析：（Ⅰ）由已知.

當時， ，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當時， ，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

故.

又當時， .

且 （對足夠小的）.

又當時， .

即所求的取值范圍是.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知.

所以對任意正實數(shù)， 恒成立，

等價于.

∵.

（1）當時， ，與式矛盾，故不合題意.

（2）當時，

當時， ，當時， ，

所以在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

，所以.

綜合（1）（2）知實數(shù)的取值范圍為.