Question

【題目】已知是定義在上的奇函數(shù)，且.

（1）求的解析式；

（2）判斷的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（3）解不等式 .

Answer 1

【答案】（1）；（2）在上單調(diào)遞增，證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，又由，可得的值，代入函數(shù)的解析式即可得答案；
（2）設(shè)，由作差法分析與的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得結(jié)論；
（3）利用函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，可以將轉(zhuǎn)化為，解可得的取值范圍，即可得答案．

（1）∵是上的奇函數(shù)，

∴，

∴，

又∵，

∴，解得，

∴；

（2）在上單調(diào)遞增，

證明：任意取，且，則

，

∵，

∴，，，，

∴，即，

∴在上單調(diào)遞增；

（3）∵，

∴，

易知是上的奇函數(shù)，

∴，

∴，

又由（2）知是上的增函數(shù)，

∴，

解得，

∴不等式的解集為.