Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知， ，且，記動點的軌跡為.

（Ⅰ）求曲線方程；

（Ⅱ）過點的動直線與曲線相交兩點，試問在軸上是否存在與點不同的定點，使得？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由， ，且，結(jié)合橢圓的定義即可求出曲線方程；（Ⅱ）當(dāng)直線與軸垂直時，求出的坐標(biāo)，然后再證明對任意的直線，均有，考慮直線斜率是否存在，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理即可證明.

試題解析：（1）∵， ，且

∴動點的軌跡為橢圓，即橢圓方程為.

（2）當(dāng)直線與軸垂直時，設(shè)直線與橢圓相交于， 兩點.

則, ，由，有，解得或.

所以，若存在不同于點的定點滿足條件，則點的坐標(biāo)只可能為.

下面證明：對任意的直線，均有.

當(dāng)直線的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立.

當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為， 的坐標(biāo)分別為.

聯(lián)立，得.

其判別式，

∴，

∴.

∴，

∴

∴