Question

（本小題滿分14分）已知雙曲線（，），、分別是它的左、右焦點，是其左頂點，且雙曲線的離心率為．設過右焦點的直線與雙曲線的右支交于、兩點，其中點位于第一象限內．

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線、分別與直線交于、兩點，求證：；

（3）是否存在常數，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）

（2）見解析

（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）【解析】
由題可知： 1分

∵，∴c＝2 2分

∵，∴，

∴雙曲線C的方程為： 3分

（2）證明：設直線的方程為：x＝ty＋2，另設：，，

∴， 4分

∴ 5分

又直線AP的方程為，代入 6分

同理，直線AQ的方程為，代入 7分

∴，

∴

，∴ 9分

（3）【解析】
當直線的方程為時，解得P（2，3），

易知此時為等腰直角三角形，其中 ，

即，也即： 10分

下證：對直線存在斜率的情形也成立，

， 11分

∵，

∴， 12分

∴ 13分

∴結合正切函數在上的圖像可知， 14分

考點：考查了雙曲線的方程，直線與雙曲線的位置關系．