Question

設(shè)

OA

=（1，-2），

OB

=（a，-1），

OC

=（-b，0），a＞0，b＞0，O為坐標(biāo)原點，若A、B、C三點共線，則

1

a

+

2

b

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：由

OA

=（1，-2），

OB

=（a，-1），

OC

=（-b，0），a＞0，b＞0，O為坐標(biāo)原點，若A、B、C三點共線，我們可以得到2a+b=1，由基本不等式1的活用，我們易求出

1

a

+

2

b

的最小值．

解答：解：∵

OA

=（1，-2），

OB

=（a，-1），

OC

=（-b，0），
又∵A、B、C三點共線，
我們可以得到2a+b=1，
又由a＞0，b＞0
∴

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）•（2a+b）=4+（

b

a

+

4a

b

）≥4=4=8，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a即b=

1

2

，a=

1

4

是取等號．
故

1

a

+

2

b

的最小值是8
故答案為：8

點評：若A、B、P三點共線，O為直線外一點，則

OP

=λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=1，反之也成立，這是三點共線在向量中最常用的證明方法和性質(zhì)，大家一定要熟練掌握．