Question

（Ⅰ）設為正數(shù)，且，求證：；

（Ⅱ）設為正數(shù)，，求證：

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）為正數(shù)，且，由柯西不等式有：

，

當且僅當，即時等號成立，

．                                 ……………6分

（Ⅱ）證法一：用數(shù)學歸納法證明：

①當時，左邊=右邊； 當時，左邊=右邊；

當時，左邊右邊，

所以當時，不等式成立；

②假設當時不等式成立，即，則當時，

是正數(shù)，，

， ，

所以當時不等式也成立，

綜合①②得當為正數(shù)，時，成立．  ……………12分

證法二：用構造法證明：

設，則：，

是正數(shù)，

，又，，，

即當為正數(shù)，時，成立．

【解析】略