Question

已知，為橢圓的左右頂點，為其右焦點．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程及離心率；

（Ⅱ）過點的直線與橢圓的另一個交點為（不同于，），與橢圓在點處的切線交于點．當直線繞點轉(zhuǎn)動時，試判斷以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓的方程為，半焦距為，

因為、為橢圓的左、右頂點，為其右焦點，

所以， ．

又因為，所以．

故橢圓的方程為，離心率為．……5分

（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切. 證明如下：

由題意可設(shè)直線的方程為，

則點坐標為，中點的坐標為．

由得．

設(shè)點的坐標為，則．

所以，．

因為點坐標為，

當時，點的坐標為，點的坐標為，

直線軸，此時以為直徑的圓與直線相切．

當時，則直線的斜率.

所以直線的方程為．

點到直線的距離．

又因為 所以．

故以為直徑的圓與直線相切．

綜上得，當直線繞點轉(zhuǎn)動時，以為直徑的圓與直線相切．………14分