Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若是的唯一極值點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間是，減區(qū)間是（2）

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，轉(zhuǎn)化為函數(shù)沒有變號(hào)零點(diǎn)，求的取值范圍.

解：（1）由題意可得

當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>，所以

所以時(shí)，，時(shí)，.

所以的增區(qū)間是，減區(qū)間是.

（2），令

則，當(dāng)，，當(dāng)，，

所以在遞減，在遞增，

所以

①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，

故時(shí)，；時(shí)，

故在遞增，在遞減，所以是的唯一極值點(diǎn)，滿足題意.

②當(dāng).即時(shí)，在遞減，在遞增，.

故時(shí)，，得；時(shí)，，得

故在遞增，在遞減

所以是的唯一極值點(diǎn)，滿足題意.

③當(dāng)，時(shí)，，

，令，則，，

令，，

令，，，故在遞增，故

故在遞增，，故

所以在存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為，

當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得，

所以在遞減，遞增，所以也是的極值點(diǎn)，

所以不符合題意

綜上所述，的取值范圍是

（注：①②可合并）