Question

3．點(diǎn)P與定點(diǎn)F（2，0）的距離和它到定直線(xiàn)x=$\frac{1}{2}$的距離的比是2：1，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形．

Answer 1

分析 設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，直接由P與定點(diǎn)F（2，0）的距離和它到定直線(xiàn)x=$\frac{1}{2}$的距離比是2：1列式整理得方程．

解答 解：設(shè)P（x，y），
|PF|=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，P到定直線(xiàn)x=$\frac{1}{2}$的距離為|x-$\frac{1}{2}$|，
由P與定點(diǎn)F（2，0）的距離和它到定直線(xiàn)x=$\frac{1}{2}$的距離比是2：1=2，得$\frac{\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}}{|x-\frac{1}{2}|}=2$，
整理得：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∴點(diǎn)P的軌跡方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了與直線(xiàn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，是中檔題．