Question

10．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|，其中a∈R
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）解關(guān)于x的不等式：f（x）≥2a²；
（3）若函數(shù)f（x）=1有三個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類討論，從而判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）分類討論以去絕對(duì)值號(hào)，從而化簡(jiǎn)不等式求解；
（3）化簡(jiǎn)f（x）-1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax-1，x≥a}\\{-{x}^{2}+ax-1，x＜a}\end{array}\right.$，從而分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性及極值，從而解得．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x|x|，
故f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
故f（x）是奇函數(shù)；
當(dāng)a≠0時(shí)，f（a）=0，f（-a）=-a|2a|≠0，
故函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)；
（2）①當(dāng)a=0時(shí)，
f（x）≥2a²可化為x|x|≥0，
故x≥0；
②當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x≥a時(shí)，
x²-ax-2a²≥0，
解得，x≥2a或x≤-a（舍去）；
當(dāng)x＜a時(shí)，
x²-ax+2a²≤0，無(wú)解；
故不等式的解集為x≥2a；
③當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x≥a時(shí)，
x²-ax-2a²≥0，
解得，x≤2a（舍去）或x≥-a；
當(dāng)x＜a時(shí)，
x²-ax+2a²≤0，無(wú)解；
故不等式的解集為x≥-a；
綜上所述，
當(dāng)a≥0時(shí)，不等式的解集[2a，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集[-a，+∞）．
（3）f（x）-1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax-1，x≥a}\\{-{x}^{2}+ax-1，x＜a}\end{array}\right.$，
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在其定義域上單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）=1有且只有一個(gè)實(shí)根；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$]上是增函數(shù)，
在（$\frac{a}{2}$，a）上是減函數(shù)，在[a，+∞）上是增函數(shù)；
且f（a）=-1，
故只需使f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{{a}^{2}}{2}$-1＞0，
解得，a＞2；
③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，a]上是增函數(shù)，
在（a，$\frac{a}{2}$）上是減函數(shù)，在[$\frac{a}{2}$，+∞）上是增函數(shù)；
且f（a）=-1，
故不可能有三個(gè)實(shí)根；
綜上所述，a＞2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及絕對(duì)值函數(shù)的應(yīng)用．