Question

5．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，則z=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$的取值范圍是[2，$\frac{10}{3}$]．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)k=$\frac{y}{x}$，利用k的幾何意義進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率，
則z=k+$\frac{1}{k}$，
由圖象知，OA的斜率最大，OB的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），此時(shí)k=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（3，1），此時(shí)k=$\frac{1}{3}$，
則$\frac{1}{3}$≤k≤2，
∵z=k+$\frac{1}{k}$在[$\frac{1}{3}$，1]上為減函數(shù)，則[1，2]上為增函數(shù)，
∴當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)取得最小值為z=1+1=2，
當(dāng)k=$\frac{1}{3}$時(shí)，z=$\frac{1}{3}+3$=$\frac{10}{3}$，
當(dāng)k=2時(shí)，z=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$＜$\frac{10}{3}$，
則z的最大值為$\frac{10}{3}$，
故2≤z≤$\frac{10}{3}$，
故答案為：[2，$\frac{10}{3}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃以及直線斜率的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．