Question

【題目】已知橢圓的離心率為，，分別是其左、右焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若在直線上任取一點(diǎn)，從點(diǎn)向的外接圓引一條切線，切點(diǎn)為.問(wèn)是否存在點(diǎn)，恒有？請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) ，或

【解析】

（1）求出后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）先求出的外接圓的方程，設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)為，則由可得對(duì)任意的恒成立，故可得關(guān)于的方程，從而求得的坐標(biāo).

解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以. ①

又橢圓過(guò)點(diǎn)，所以代入得. ②

又. ③

由①②③，解得.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1）得，，的坐標(biāo)分別是.

因?yàn)?/span>的外接圓的圓心一定在邊的垂直平分線上，

即的外接圓的圓心一定在軸上，

所以可設(shè)的外接圓的圓心為，半徑為，圓心的坐標(biāo)為，

則由及兩點(diǎn)間的距離公式，得，

解得.

所以圓心的坐標(biāo)為，半徑，

所以的外接圓的方程為，即.

設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)為，因?yàn)?/span>，

所以，

化簡(jiǎn)，得，

所以，消去，得，

解得或.

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

所以存在點(diǎn)，或滿(mǎn)足條件.