Question

1．設方程x⁴-15x³+kx²+175x-1992=0的四個根中有兩根的乘積為24，求k的值．

Answer 1

分析 不妨設方程x⁴-15x³+kx²+175x-1992=0的四個根為x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁x₂=24；從而由x⁴-15x³+kx²+175x-1992=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）（x-x₄）=（x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂）（x²-（x₃+x₄）x+x₃x₄）可得x₁x₂x₃x₄=-1992，x₁+x₂+x₃+x₄=15，83（x₁+x₂）-24（x₃+x₄）=175，從而求k．

解答 解：不妨設方程x⁴-15x³+kx²+175x-1992=0的四個根為x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁x₂=24；
則x⁴-15x³+kx²+175x-1992=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）（x-x₄）
=（x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂）（x²-（x₃+x₄）x+x₃x₄）；
故x₁x₂x₃x₄=-1992，
故x₃x₄=-$\frac{1992}{24}$=-83；
故（x²-（x₁+x₂）x+24）（x²-（x₃+x₄）x-83）
則x₁+x₂+x₃+x₄=15，
83（x₁+x₂）-24（x₃+x₄）=175，
聯(lián)立方程解得，
x₁+x₂=5，x₃+x₄=10；
故k=（x₁+x₂）（x₃+x₄）+24-83=50+24-83=-9．

點評 本題考查了多項式的化簡與運算，屬于中檔題．