Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax²+（x-1）e^x．
（1）當(dāng)a=-$\frac{e+1}{2}$時(shí)，求f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{2e}$時(shí)，f（x）是否存在極值？若存在，求所有極值的和的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=$\frac{e+1}{2}$時(shí)，求出f′（x）=-（e+1）x+xe^x，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能出f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程．
（2）f′（x）=2ax+xe^x=x（e^x+2a），由此根據(jù)a≥0，-$\frac{1}{2}$＜a＜0，a=-$\frac{1}{2}$，a＜-$\frac{1}{2}$，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論f（x）的單調(diào)性．
（3）推導(dǎo)出x₁=ln（-2a）為極大值點(diǎn)，x₂=0為極小值點(diǎn)，所有極值的和即為f（x₁）+f（x₂），f（x₁）+f（x₂）=ax₁²+（x₁-1）${e}^{{{x}_{1}}^{{\;}^{\;}}}$-1，由此利用導(dǎo)性質(zhì)能求出所有極值的和的取值范圍．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）當(dāng)a=$\frac{e+1}{2}$時(shí)，f（x）=$\frac{e+1}{2}$x²+（x-1）e^x，
∴f（1）=$\frac{e+1}{2}$，
f′（x）=-（e+1）x+xe^x，∴f′（1）=-1
切線方程為：y+$\frac{e+1}{2}$=-（x-1），
即：2x+2y+e-1=0．…（4分）
（2）f′（x）=2ax+xe^x=x（e^x+2a）
①當(dāng)2a≥0即a≥0時(shí)，f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，ln（-2a））上單調(diào)遞增，
在（ln（-2a），0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
③當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
④當(dāng)a＜-$\frac{1}{2}$ 時(shí)，f（x）在（-∞，0））上單調(diào)遞增，
在（0，ln（-2a））上單調(diào)遞減，在（ln（-2a），+∞）上單調(diào)遞增．…（8分）
（3）由（2）知，當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{2e}$＜0時(shí)，
f（x）在（-∞，ln（-2a））上單調(diào)遞增，在（ln（-2a），0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x₁=ln（-2a）為極大值點(diǎn)，x₂=0為極小值點(diǎn)，所有極值的和即為f（x₁）+f（x₂），
f（x₁）+f（x₂）=ax₁²+（x₁-1）${e}^{{{x}_{1}}^{{\;}^{\;}}}$-1
∵x₁=ln（-2a），∴a=-$\frac{1}{2}$${e}^{{x}_{1}}$，
∴f（x₁）+f（x₂）=-$\frac{1}{2}$${e}^{{x}_{1}}$x₁²+（x₁-1）${e}^{{x}_{1}}$-1=${e}^{{x}_{1}}$（-$\frac{1}{2}$x₁²+x₁-1）-1
∵-$\frac{1}{2}$＜a＜-$\frac{1}{2e}$，∴$\frac{1}{e}$＜-2a＜1，∴-1＜x₁=ln（-2a）＜0，
令ϕ（x）=e^x （-$\frac{1}{2}$x²+x-1）-1（-1＜x＜0）
∴ϕ′（x）=e^x （-$\frac{1}{2}$x²）＜0∴ϕ（x）在（-1，0）單調(diào)遞減
∴ϕ（0）＜ϕ（x）＜ϕ（-1）
即-2＜ϕ（x）＜-$\frac{5}{2e}$-1
∴所有極值的和的取值范圍為（-2，-$\frac{5}{2e}-1$）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、切線方程，考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．