Question

7．已知函數(shù)f（x）=2|cosx|sinx+sin2x，給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{4}$對(duì)稱；
②函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上單調(diào)遞增；
③函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
④函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-2，2]．
其中真命題的序號(hào)是②④．（將你認(rèn)為真命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、值域以及它的圖象的對(duì)稱性，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：對(duì)于函數(shù)f（x）=2|cosx|sinx+sin2x，由于f（-$\frac{3π}{4}$）=-2，f（$\frac{5π}{4}$）=0，∴f（-$\frac{3π}{4}$）≠f（$\frac{5π}{4}$），
故f（x）的圖象不關(guān)于直線$x=\frac{π}{4}$對(duì)稱，故排除①．
在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上，2x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，f（x）=2|cosx|sinx+sin2x=2sin2x 單調(diào)遞增，故②正確．
函數(shù)f（$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，f（$\frac{4π}{3}$）=0，∴f（$\frac{π}{3}$）≠f（$\frac{4π}{3}$），故函數(shù)f（x）的最小正周期不是π，故③錯(cuò)誤．
當(dāng)cosx≥0時(shí)，f（x）=2|cosx|sinx+sin2x=2sinxcosx+sin2x=2sin2x，故它的最大值為2，最小值為-2；
當(dāng)cosx＜0時(shí)，f（x）=2|cosx|sinx+sin2x=-2sinxcosx+sin2x=0，
綜合可得，函數(shù)f（x）的最大值為2，最小值為-2，故④正確，
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、值域以及它的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．