Question

【題目】已知直線l1：y＝x，l2：y＝－x，動點P，Q分別在l1，l2上移動，｜PQ｜＝2，N是線段PQ的中點，記點N的軌跡為曲線C．

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）過點M（0，1）分別作直線MA，MB交曲線C于A，B兩點，設這兩條直線的斜率分別為k1，k2，且k1＋k2＝2，證明：直線AB過定點．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）（-1，-1）.

【解析】

（Ⅰ）根據條件設P，Q，由得，設N（x，y）是線段PQ的中點，所以 消去m，n可得曲線C的方程. （Ⅱ）先求出直線AB的方程，再找到定點.

（Ⅰ）根據條件設P，Q，∵，

即，∵N（x，y）是線段PQ的中點，∴

消去m，n可得曲線C的方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，點M（0，1）為橢圓的上頂點，

當直線AB的斜率不存在時，設A，則B，

由得，得；

當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為、A， B，

，得，

，

即，

由m≠1，，

即，故直線AB過定點（-1，-1）.

經檢驗，此時直線與橢圓有兩個交點，滿足題意.綜上所述，直線AB過定點（-1，-1）.