Question

3．如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動，點B恰好經過原點．設頂點P（x，y）的軌跡方程是y=f（x），則${∫}_{-1}^{1}$f（x）dx=（　�。�

• A． $\frac{π}{2}$+1
• B． $\frac{π}{2}$+2
• C． π+1
• D． π+2

Answer 1

分析 判斷P的軌跡，然后通過定積分的幾何意義求解即可．

解答 解：當-2≤x≤-1，P的軌跡是以A為圓心，半徑為1的$\frac{1}{4}$圓，
當-1≤x≤1時，P的軌跡是以B（原點為O）為圓心，半徑為$\sqrt{2}$的$\frac{1}{4}$圓，
當1≤x≤2時，P的軌跡是以C為圓心，半徑為1的$\frac{1}{4}$圓，
則${∫}_{-1}^{1}$f（x）dx的幾何意義是，P的軌跡與x=-1，x=1，以及x軸圍成的幾何圖形的面積．
所以${∫}_{-1}^{1}$f（x）dx=1×2+$\frac{1}{4}π•（\sqrt{2}）^{2}$-$\frac{1}{2}×2×1$=1+$\frac{π}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查的知識點是函數圖象的變化，其中根據已知畫出正方形轉動過程中的圖象，利用數形結合的思想對本題進行分析是解答本題的關鍵．