Question

11．對于曲線C所在平面上的定點P₀，若存在以點P₀為頂點的角α，使得α≥∠AP₀B對于曲線C上的任意兩個不同的點A，B恒成立，則稱角α為曲線C相對于點P₀的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線C相對于點P₀的“確界角”．曲線C：y=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{{x^2}+1}（x≥0）\\ 2-\sqrt{1-{x^2}}（x＜0）\end{array}$相對于坐標原點O的“確界角”的大小是$\frac{5π}{12}$．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）的圖象，過點O作出兩條直線與曲線無限接近，x≥0時，曲線y=$\sqrt{{x}^{2}+1}$與直線y=k₁x無限接近，考慮漸近線，求出k₁=1；x＜0時，曲線可化為x²+（y-2）²=1（x＜0），圓心到直線的距離為$\frac{2}{\sqrt{{{k}_{2}}^{2}+1}}$=1，故k₂=-$\sqrt{3}$，再由兩直線的夾角公式即可得到所求的“確界角”．

解答 解：畫出函數(shù)f（x）的圖象，過點O作出兩條直線與曲線無限接近，設它們的方程分別為y=k₁x，y=k₂x，
當x≥0時，曲線y=$\sqrt{{x}^{2}+1}$與直線y=k₁x無限接近，即為雙曲線的漸近線，故k₁=1；
當x＜0時，曲線可化為x²+（y-2）²=1（x＜0），圓心到直線的距離為$\frac{2}{\sqrt{{{k}_{2}}^{2}+1}}$=1，故k₂=-$\sqrt{3}$，
由兩直線的夾角公式得，tanθ=|$\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$|=2+$\sqrt{3}$，
故曲線C相對于點O的“確界角”為$\frac{5π}{12}$．
故答案為：$\frac{5π}{12}$．

點評 本題考查新定義“確界角”及應用，考查直線與圓的位置關系，雙曲線的性質：漸近線，屬于中檔題．