Question

設(shè)（b，c為常數(shù)），若，且只有唯一實數(shù)根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）令a₁=1，a_n=f（a_n-1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意利用待定系數(shù)法，先列出關(guān)于a，b的方程組，解方程組即可求出a，b的值，從而得出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)（1）中求出的f（x）的解析式，分兩種情況分別求解數(shù)列{a_n}的通項公式．一種情況是直接利用等比數(shù)列的通項公式求解；另一種情況是通過變形得到+1=2（+1），所以數(shù)列{+1}是等比數(shù)列，寫出數(shù)列{+1}的通項公式，變形后即可得到{a_n}的通項公式．
解答：解：（1）∵（b，c為常數(shù)），若，且只有唯一實數(shù)根，
∴，
∴或，
解得b=0，c=4，或b=1，c=2
∴或
（2）當(dāng)時得
a_n=f（a_n-1）=a_n-1，又a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是一個首項為1，公式為的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=；
當(dāng)時得
a_n=f（a_n-1）=，
∴=+1，+1=2（+1），
又a₁=1，
∴數(shù)列{+1}是一個首項為2，公式為2的等比數(shù)列，
∴+1=2ⁿ，∴a_n=，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=．
點評：此題考查學(xué)生掌握等比數(shù)列的性質(zhì)并會確定一個數(shù)列為等比數(shù)列，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項公式，是一道綜合題．