Question

【題目】設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”.

（1）請舉一個“超導(dǎo)函數(shù)” 的例子，并加以證明；

（2）若函數(shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，且其中一個在R上單調(diào)遞增，另一個在R上單調(diào)遞減，求證：函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”；

（3）若函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”且方程無實根，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），判斷方程的實數(shù)根的個數(shù)并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2)見解析.

(3)見解析.

【解析】分析：（1）根據(jù)定義舉任何常數(shù)都可以；（2）∵，∴，即證-在R上成立即可；（3）構(gòu)造函數(shù)，因為是“超導(dǎo)函數(shù)”， ∴對任意實數(shù)恒成立，而方程無實根，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減， 故方程等價于，即，

設(shè) ，分析函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點定理即可得出結(jié)論.

詳解：

（1）舉例：函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”，

因為，，滿足對任意實數(shù)恒成立，故是“超導(dǎo)函數(shù)”.

注：答案不唯一，必須有證明過程才能給分，無證明過程的不給分.

（2）∵，∴，

∴

因為函數(shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，所以不等式與對任意實數(shù)都恒成立，故，，①

而與一個在上單調(diào)遞增，另一個在上單調(diào)遞減，故，②

由①②得對任意實數(shù)都恒成立，所以函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”.

（3）∵，所以方程可化為，

設(shè)函數(shù)，，則原方程即為，③

因為是“超導(dǎo)函數(shù)”， ∴對任意實數(shù)成立，

而方程無實根，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減，

故方程③等價于，即，

設(shè) ，，則在上恒成立，

故在上單調(diào)遞增，

而，，且函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，

故 在上有且僅有一個零點，從而原方程有且僅有唯一實數(shù)根.