Question

【題目】已知橢圓過點，且離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過作斜率分別為的兩條直線，分別交橢圓于點，且，證明：直線過定點．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）利用橢圓過點，以及離心率為，求出，即可得到橢圓方程．

（2）設(shè)直線方程為，則，求得，當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達定理以及，得到與的關(guān)系，代入直線的方程，即可求解．

（1）由題意，橢圓過點，即，解得，

由離心率為，又由，解得，所求橢圓方程為：.

（2）當直線斜率不存在時，設(shè)直線方程為，則，

則，所以，解得，

當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，

聯(lián)立方程組，得，

設(shè)，則 （*），

則，

將*式代入化簡可得：，即，整理得，

代入直線方程，得，

即，聯(lián)立方程組，解得，

恒過定點.