Question

【題目】已知數(shù)列滿足：對任意的，若，則，且，設(shè)集合，集合中元素最小值記為，集合中元素最大值記為．

（1）對于數(shù)列：，寫出集合及；

（2）求證：不可能為18；

（3）求的最大值以及的最小值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）詳見解析；（3）的最大值為17， 的最小值為16．

【解析】

（1）由題意易得，，．

（2）利用反證法，假設(shè)，可推出，這一集合元素互異性的矛盾；

（3）首先求，由（2）知，而是可能的；再證明：的最小值為16．

（1）由題意易得，，.

（2）證明：假設(shè)，

設(shè)，

則=，

即，因為，所以，

同理，設(shè)，可以推出，

中有兩個元素為1，與題設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，

不可能為18．

（3）的最大值為17，的最小值為16．

①首先求，由（2）知，而是可能的．

當(dāng)時，

設(shè)

則=

即，

又

得，即．

同理可得：．

對于數(shù)列：

此時，，滿足題意．

所以的最大值為17；

②現(xiàn)證明：的最小值為16．

先證明為不可能的，假設(shè)．

設(shè)，

可得，即，元素最大值為10，所以．

又，

同理可以推出，矛盾，假設(shè)不成立，所以．

數(shù)列為：時，

，，中元素的最大值為16．

所以的最小值為16．