【題目】已知函數(shù)
.
求函數(shù)
在
處的切線方程；
若在
，
處導數(shù)相等，證明：
.
若對于任意
，直線
與函數(shù)圖象都有唯一公共點，求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】
；
證明見解析；
.
【解析】
先求導得
函數(shù)
在
處的切線方程為：
，代入化簡即可得結(jié)論.
根據(jù)
在
，
處導數(shù)相等，即
，
為方程
的根，
，解得
，由韋達定理
，
的值寫出
，
進而求導可證.
將問題傳化為
有唯一零點，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性得函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得.
解：
，
所以
，
所以函數(shù)在處的切線方程為：
，
即，
根據(jù)題意得，
，
即，為方程
的根，
，
解得，
所以
，
，
所以
，
令
，
，
，，
，
當
時，
，
單調(diào)遞增.
當
時，
，單調(diào)遞減.
所以
，
所以
，
所以
.
根據(jù)題意得，方程
只有一個根，
即
，只有一個根，
令，有唯一零點，
當
趨近于
時，
趨近于
，趨近于
時，趨近于
，
下面證明
恒成立，
若存在
，使得
，
所以存在
，
，使得
，
，
，則
與
至少有兩個交點，矛盾.
由對于任意
，
只有一個解，得
為
上的增函數(shù)，
所以
，
得
，
令
，
，
則
，
所以
在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，
，
得
.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系
中，直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），在以坐標原點為極點，
軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
的極坐標方程為
（
且
）.
（I）求直線的極坐標方程及曲線的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知
是直線上的一點，
是曲線上的一點， 
，
，若
的最大值為2，求
的值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的右焦點為
，過作兩條直線分別與圓
：
相切于
，且
為直角三角形. 又知橢圓上的點與圓上的點的最大距離為
.
（1）求橢圓及圓的方程；
（2）若不經(jīng)過點的直線
：
(其中
)與圓相切，且直線與橢圓交于
，求
的周長.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
滿足：對任意的
，若
，則
，且
，設(shè)集合
，集合
中元素最小值記為
，集合中元素最大值記為
．
（1）對于數(shù)列：
，寫出集合
及
；
（2）求證：不可能為18；
（3）求的最大值以及的最小值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，四棱錐
中，側(cè)面
底面
，底面是平行四邊形，
，
，
，
是
中點，點
在線段
上.
（Ⅰ）證明：
；
（Ⅱ）若
，求實數(shù)
使直線
與平面
所成角和直線與平面所成角相等.
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