Question

德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)f（x）=

1，x∈Q 0，x∈∁RQ

被稱為狄利克雷函數(shù)，其中R為實(shí)數(shù)集，Q為有理數(shù)集，則關(guān)于函數(shù)f（x）有如下四個命題：
①f（f（x））=0；
②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
③任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對任意的x∈R恒成立；
④存在三個點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），使得△ABC為等邊三角形．
其中真命題的個數(shù)是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①根據(jù)函數(shù)的對應(yīng)法則，可得不管x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））=1；②根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數(shù)；③根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)；④取x₁=-

3

3

，x₂=0，x₃=

3

3

，可得A（

3

3

，0），B（0，1），C（-

3

3

，0），三點(diǎn)恰好構(gòu)成等邊三角形．

解答： 解：①∵當(dāng)x為有理數(shù)時，f（x）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時，f（x）=0
∴當(dāng)x為有理數(shù)時，ff（（x））=f（1）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時，f（f（x））=f（0）=1
即不管x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））=1，故①不正確；
接下來判斷三個命題的真假
②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，
∴對任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），故②正確；
③若x是有理數(shù)，則x+T也是有理數(shù)； 若x是無理數(shù)，則x+T也是無理數(shù)
∴根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立，故③正確；
④取x₁=-

3

3

，x₂=0，x₃=

3

3

，可得f（x₁）=0，f（x₂）=1，f（x₃）=0
∴A（

3

3

，0），B（0，1），C（-

3

3

，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．
故選：C．

點(diǎn)評：本題給出特殊函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)的值并討論它的奇偶性，著重考查了有理數(shù)、無理數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性等知識，屬于中檔題．