Question

4．已知圓的方程為x²+y²+ax+2y+a²=0，一定點為A（1，2），要使過A點作圓的切線有兩條，則a的取值范圍為（$-\frac{2}{3}\sqrt{3}，\frac{2}{3}\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 圓的方程化為標準方程，求出圓心和半徑，過定點A（1，2）作圓的切線有兩條，點A必在圓外，推出不等式，然后解答不等式即可．

解答 解：將圓的方程配方得（x+$\frac{a}{2}$）²+（y+1）²=$\frac{4-3{a}^{2}}{4}$，圓心C的坐標為（-$\frac{a}{2}$，-1），半徑r=$\sqrt{\frac{4-3{a}^{2}}{4}}$，
條件是4-3a²＞0，過點A（1，2）所作圓的切線有兩條，則點A必在圓外，即$\sqrt{（1+\frac{a}{2}）^{2}+（2+1）^{2}}$＞$\sqrt{\frac{4-3{a}^{2}}{4}}$，
化簡得a²+a+9＞0．
由4-3a²＞0，a²+a+9＞0，
解之得-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜a＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故a的取值范圍是（$-\frac{2}{3}\sqrt{3}，\frac{2}{3}\sqrt{3}$）．
故答案為：（$-\frac{2}{3}\sqrt{3}，\frac{2}{3}\sqrt{3}$）．

點評 本題考查圓的切線方程，直線和圓的方程的應用，考查一元二次不等式的解法，邏輯思維能力，是中檔題．