Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為為曲線上的動點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足．

（1）求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（2）直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），其中． 與交于點(diǎn)，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或．

【解析】試題分析：（1）先求出軌跡的極坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可；（2）先由直線的參數(shù)方程得到直線的直角坐標(biāo)方程，利用弦長公式和圓心到直線的距離公式進(jìn)行求解.

試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)，點(diǎn)的極坐標(biāo)，

由題意可知，

由得曲線的極坐標(biāo)方程為，

∴點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程為；

（2）法一：由直線的參數(shù)方程可知，直線過原點(diǎn)且傾角為，

則直線極坐標(biāo)方程為，聯(lián)立

， ∴，

∴，

∴或， ∴或， ∴直線得斜率為或；

法二：由題意分析可知直線的斜率一定存在，且由直線的參數(shù)方程可得，直線過原點(diǎn)，設(shè)直線的普通方程為，

∴到的距離，可得，

∴直線得斜率為或．