Question

【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù)．

（1）求a的值，并證明是R上的增函數(shù)；

（2）若關(guān)于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），證明見解析（2）

【解析】

(1)由奇函數(shù)在0處有定義時計算可得.證明在上為增函數(shù)時,設(shè),再計算,化簡證明即可.
(2)先根據(jù)奇偶性化簡為,因為函數(shù)單調(diào)遞增,所以若解集非空,則有解.再根據(jù)二次不等式恒成立的問題求解即可.

（1）因為定義在R上的奇函數(shù),所以,得.

此時,,

,所以是奇函數(shù),

所以．

任取R,且,則,因為

所以,

所以是R上的增函數(shù).

（2）因為為奇函數(shù),f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空,

所以的解集非空,

又在R上單調(diào)遞增,

所以的解集非空,

即在R上有解,所以得.