Question

【題目】如圖，在四面體中，，.

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

(1) 設(shè)為的中點，連接，.易知，從而平面，故平面平面；（2）以為原點，，，分別為軸、軸、軸、建立空間直角坐標系.求出直線的方向向量，平面的法向量，代入公式即可得到直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：設(shè)為的中點，連接，.

∵是的中點，

∴在中，，即為等邊三角形，

∴，∴.

在中，，，

∴，且，

于是，可知.

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面.

（2）解：由（1）知，，，兩兩垂直，以為原點，，，分別為軸、軸、軸、建立空間直角坐標系.

則，，，，

設(shè)平面的法向量，，，

則，令，得，又.

設(shè)直線與平面所成角為，

則，即直線與平面所成角的正弦值為.