Question

20．如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E為PC的中點，M為AB的中點，點F在PA上，且2PF=FA．
（1）求證：BE⊥平面PAC；
（2）求直線AB與平面BEF所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知BE⊥PC，從而AC⊥PB，AC⊥BC，由此能證明BE⊥平面PAC．
（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，過C作平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AB與平面BEF所成的角的正弦值．

解答 證明：（1）∵PB=BC=CA=2，E為PC的中點，
∴BE⊥PC，
∵PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，
∴AC⊥PB，AC⊥BC，
∵PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC，
∵BE?平面PBC，∴BE⊥AC，
∵AC∩PC=C，∴BE⊥平面PAC．
解：（2）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，過C作平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
A（2，0，0），B（0，2，0）P（0，2，2），C（0，0，0），
E（0，1，1），F（1，1，1），
$\overrightarrow{AB}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{BF}$=（1，-1，1），
設平面BEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=x-y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
設直線AB與平面BEF所成的角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{|2|}{\sqrt{2}•2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴直線AB與平面BEF所成的角的正弦值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．