Question

【題目】已知橢圓的方程為，離心率，且短軸長為4．

求橢圓的方程；

已知，，若直線l與圓相切，且交橢圓E于C、D兩點(diǎn)，記的面積為，記的面積為，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）12

【解析】

根據(jù)題意列出有關(guān)a、b、c的方程組，求出a、b、c的值，可得出橢圓E的方程；設(shè)直線l的方程為，先利用原點(diǎn)到直線l的距離為2，得出m與k滿足的等式，并將直線l的方程與橢圓E的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計(jì)算出弦CD的長度的表達(dá)式，然后分別計(jì)算點(diǎn)A、B到直線l的距離、，并利用三角形的面積公式求出的表達(dá)式，通過化簡，利用基本不等式可求出的最大值。

解：設(shè)橢圓的焦距為，橢圓的短軸長為，則，

由題意可得，解得，

因此，橢圓的方程為；

由題意知，直線l的斜率存在且斜率不為零，不妨設(shè)直線l的方程為，設(shè)點(diǎn)、，

由于直線l與圓，則有，所以，．

點(diǎn)A到直線l的距離為，點(diǎn)B到直線l的距離為，

將直線l的方程與橢圓E的方程聯(lián)立，消去y并整理得．

由韋達(dá)定理可得，．

由弦長公式可得

．

所以，，

．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．

因此，的最大值為12．