Question

【題目】已知橢圓 ，離心率，它的長軸長等于圓的直徑.

（1）求橢圓 的方程；

（2）若過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn) ，使得以為直徑的圓經(jīng)過這個定點(diǎn)，若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由？

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）利用配方法得到圓的圓心和半徑，由此得到，結(jié)合， 可求得橢圓的方程.（2）先從特殊情況出發(fā)，過作斜率為和斜率不存在的直線，求出兩個特殊圓，這兩個圓的交點(diǎn)為，猜想存在點(diǎn)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達(dá)定理，計(jì)算，所以，即以為直徑的圓經(jīng)過這個定點(diǎn).

試題解析：

(1) 圓方程化為，則圓的直徑為，由得： ，所以橢圓的方程： .

(2)過點(diǎn)作斜率為和斜率不存在的直線交橢圓的兩個交點(diǎn)為直徑的圓分別為和，這兩個圓的交點(diǎn)為.所以猜想存在點(diǎn)，使得以 為直徑的圓經(jīng)過這個定點(diǎn). 設(shè)直線 的方程為，與橢圓，聯(lián)立方程組得： ，設(shè)交點(diǎn)得， ，則 ，所以，即以 為直徑的圓經(jīng)過這個定點(diǎn).